Houve uma descoberta maravilhosa. Ao construir a fórmula AMM em 2019, a Curve V1 teve uma fórmula intermediária no processo de dedução, e esta fórmula tinha exatamente a mesma estrutura que a fórmula básica da Uniswap V3 mais de um ano depois (a primeira é uma forma especial da última). Um caminho de pensamento completamente diferente, e uma interseção matemática apareceu, o que é maravilhoso. Este artigo irá organizar o processo de pensamento estrutural da Curve V1 e da Uniswap V3 a partir do ponto de partida. As duas se cruzaram no sentido matemático durante o processo de construção, e como elas se separaram para diferentes fins.

1. O caminho do pensamento construído pela fórmula Curve V1

O lançamento do Uniswap xy=k no final de 2018 foi uma revolução paradigmática. No entanto, no cenário de pares de negociação de stablecoin, as falhas são significativas. Michael aproveitou este ponto de entrada e lançou o novo AMM Curve V1 no final de '19.

Uma das bases do processo de construção da nova fórmula AMM ainda é xy = k. No futuro, será uniformemente escrita como a seguinte fórmula de acordo com os códigos de parâmetros no white paper Curve V1.

Na maior parte do tempo, o preço dos pares de negociação de moedas estáveis apenas flutua em uma faixa muito pequena em torno de 1:1. A fórmula que fornece liquidez apenas em um único ponto de preço 1:1 é x+y = D, que é outra base do processo de construção.

Michael quer combinar as duas equações básicas, ou introduzir algumas características de x+y = D com base em xy = (D/2) ².

Como resultado, as duas fórmulas básicas foram somadas e uma fórmula mista foi obtida.

Dentre eles, a parte em que x+y=D é adicionado um parâmetro A, e D é multiplicado adicionalmente em ambos os lados do sinal de igual. A razão para multiplicar D é desdimensionalizar o parâmetro A (independentemente de haver 2 tokens, 3 tokens ou mais no pool, o mesmo valor de A tem o mesmo efeito). Isso não é discutido aqui, nem é o foco desta discussão.

Concentre-se no parâmetro A. Primeiro, o white paper da Curve V1 usa a letra grega Chi (que se parece muito com x) na fórmula de mistura, não A. Troquei para A para facilitar a experiência de escrita e leitura, e não afetou a discussão.

O efeito do parâmetro A provavelmente pode ser entendido por analogia com uma barra de cores preta, cinza e branca. 90% de cinza é muito parecido com preto e 10% de cinza é mais próximo do branco. O parâmetro A determina se o produto final da fórmula é mais como x+y=d, ou xy=(D/2)².

A partir do valor numérico do limite A, podemos entender melhor esse processo de mistura. A = 0 e a fórmula de mistura se torna xy = (D/2)². A = infinito e a fórmula de mistura se torna x+y = d. Então A é um estado intermediário nisso. Quanto maior A for, mais parecido com x+y=D. Essa combinação pode ser sentida de forma mais intuitiva por meio de gráficos e, se você estiver interessado, pode brincar com A no desmos².

Quanto à Curve V1, vamos parar por aqui; por favor, tenha esta fórmula em mente em geral. Então vamos dar uma olhada na situação do Uniswap V3 a seguir.

2. O caminho de pensamento construído pela fórmula Uniswap V3

Depois que xy = k do Uni V1/V2 dominou o rio, as deficiências causadas pela "distribuição uniforme de liquidez sobre um intervalo de preço completo de 0 a infinito" tornaram-se cada vez mais evidentes, e o lançamento do Curve V1 cortou diretamente e com precisão o mercado importante para transações de stablecoin.

Ao projetar o V3, a equipe da Uniswap queria primeiro construir uma fórmula que fornecesse liquidez apenas dentro de uma faixa de preço contínua finita. O ponto de partida de sua construção ainda era xy=k.

Imagine se você quiser alcançar um efeito, dentro da faixa de preço [Pa, Pb] (por exemplo [0.99, 1.01] ou [1500, 1700]), esta fórmula suporta transações exatamente como o xy = k do Uni V1/V2, mas quando o preço excede [Pa, Pb], ela não fornece mais liquidez.

A fórmula correspondente para este efeito é a seguinte:

Se você usar um gráfico para apresentá-lo, ficará muito claro, ou seja, deslocar xy=k para baixo e para a esquerda. A quantidade exata a ser movida é determinada por Pa e Pb.

O efeito alcançado por esta fórmula é que toda a liquidez é concentrada em [Pa, Pb], LP deposita uma certa quantidade de x_tokens e Y_tokens, fornecendo alguma liquidez dentro da faixa de preço [Pa, Pb]. Apenas para este efeito de liquidez parcial, se o LP do Uni V2 for alcançado, é necessário que o LP deposite mais x_tokens e Y_tokens; a extensão depende de Pa e Pb e pode exigir muito mais.

Esta fórmula de tradução é a fórmula básica para a construção adicional do Uni V3. Vamos falar sobre o Uni V3 por enquanto.

3. Maravilhoso ombro a ombro - a interseção de dois caminhos de pensamento

Faça algumas transformações da fórmula da curva V1 na seção 1:

Se você olhar para a fórmula de tradução Uni V3 na seção 2, verá que as duas são muito semelhantes:

Se Pa e Pb na fórmula de tradução Uni V3 forem mais bem definidos, Pb = 1/Pa, ou seja, a faixa de preço definida é uma faixa semelhante a [0.5, 2] ou [0.01, 100], satisfazendo a simetria no sentido de múltiplos em ambos os lados do ponto de preço 1:1.

Após fazer essa limitação, pode-se dizer que as duas equações são exatamente iguais:

As duas fórmulas têm diferentes expressões de parâmetros, e é fácil deduzir a relação entre os dois conjuntos de parâmetros. Vamos calcular L e Pa com base nos parâmetros A e D da fórmula de mistura da Curva V1, conforme mostrado abaixo:

O significado desses parâmetros está relacionado ao caminho de pensamento de cada construção dos dois protocolos. Vamos combinar as relações entre os dois conjuntos de parâmetros e depois revisar brevemente os dois processos de construção.

Para simplificar, digamos que um pool de pares de negociação de stablecoins, o preço inicial é 1:1. A letra D na fórmula de mistura Curve V1 representa a quantidade de D/2 de cada uma das duas stablecoins investidas no LP inicial. A letra A representa o grau em que esta equação de mistura se aproxima de x+y = d.

Chegando ao lado Uni, vamos criar mais um pool de pares de negociação estáveis Uni V2, que satisfaça a seguinte fórmula:

Em outras palavras, se o preço inicial for de 1:1, o LP inicial requer investir tanto quanto D (2A+1) /2 de cada uma das duas stablecoins.

Neste momento, há uma piscina Uni V3. O efeito desejado é apenas fornecer liquidez dentro das seguintes faixas de preço:

Além disso, o efeito de liquidez dentro deste intervalo é exatamente como o pool Uni V2 que acabou de ser lançado virtualmente. A fórmula correspondente ao pool Uni V3 que satisfaz este efeito é exatamente a mesma que a fórmula de mistura Curve V1 descrita acima.

Resumidamente, o efeito alcançado pelo Curve V1 é exatamente equivalente a primeiro criar uma pool Uni V2 com uma reserva de tokens muito maior (2A vezes mais), e depois alcançar o mesmo efeito de liquidez exato que esta pool Uni V2 na faixa de preço [(2A/ (2A+1))) ², (2A+1) /2A) ²].

4. Partindo - os diferentes fins dos dois caminhos de pensamento

A fórmula de mistura Curve V1 é uma forma especial da fórmula de tradução Uni V3. Na verdade, se mais um parâmetro for introduzido na fórmula de mistura Curve V1 e a parte x+y for ajustada para x+py, as duas são completamente equivalentes; não há muita explicação aqui.

A Curve V1 é baseada na fórmula de fusão, e a Uni V3 segue seu caminho original com base na fórmula de tradução e segue caminhos separados.

4.1 Curva V1: Mais mistura dinâmica de gradientes

Curve V1 tem uma falha na fórmula de mistura. Ele fornece liquidez apenas dentro de uma faixa de preço limitada. Michael precisava de uma fórmula com liquidez em todas as faixas de preço. (Quanto à razão dessa demanda? (Talvez seja natural que a faixa de preço inteira tenha liquidez, em um estado mais completo e sólido, por exemplo, no sentido de fornecer Oráculo para o mundo exterior.)

Podemos entender a sua ideia de construção adicional desta forma: tornar este grau de integração dinâmico. Um na fórmula de mistura anterior é uma constante que representa o grau uniforme de mistura. Agora, mais adiante, quando x se desvia mais de D/2 (ou seja, quando x é menor ou maior), ou quando o preço se desvia 1:1 mais, tornando o grau de mistura mais inclinado para xy = (D/2) ², x ou quando o preço se desvia do estado limite, torna-se simplesmente xy = (D/2) ², para que toda a faixa de preço seja líquida.

Michael transformou A em Axy/ (D/2) ²

Isso permite que você alcance o efeito de gradiente dinâmico descrito acima. Claro, o método de construção não se limita a este. Tenho a sensação de que Michael não fez um estudo comparativo muito aprofundado sobre as diferenças entre os diferentes métodos de implementação de graduação dinâmica neste passo do processo de construção. Talvez, desde que seja conveniente alcançar liquidez total de preço, é isso.

Finalmente, temos a fórmula morfológica final para a Curva V1 da seguinte forma:

4.2 Uni V3: Abandonar a fórmula única unificada e combinar livremente funções segmentadas

A conotação central da fórmula de tradução Uni V3 é a faixa de preço [Pa, Pb]. Com base nesta fórmula de tradução, o Uni V3 naturalmente seguiu em uma direção; a liquidez em diferentes faixas de preço pode ser diferente (se a liquidez em diferentes faixas de preço for a mesma, então volta para o Uni V2).

Ainda existem bifurcações de design diferentes nesta direção geral. Pode-se concordar com uma bifurcação no caminho para determinar as regras de alocação de liquidez para uma faixa de preço diferente. Os LPs ainda são homogêneos; na verdade, a Curve V1 pode ser considerada deste tipo (o limite da faixa de preço é pequeno).

Outra bifurcação no caminho. Todo o poder de decisão é transferido para LPs. Os LPs tomam decisões independentes juntos para determinar como a liquidez final é distribuída em diferentes faixas de preço.

A Uni V3 escolheu esta última opção. Esta escolha é extremamente crítica. Isso enriquece bastante os elementos de todo o jogo de mercado. Julgamento de preço, julgamento de volatilidade, componentes de sorte, etc. estão todos envolvidos, aproximando o mercado de liquidez um passo mais perto de um mercado totalmente competitivo.

Olhando para a construção adicional da Uni V3 do ponto de vista matemático, à primeira vista, parece uma função segmentada não convencional. Diferentes faixas de preço correspondem a diferentes valores de L, e, consequentemente, existem fórmulas diferentes, como no seguinte exemplo minimalista:

Na verdade, o acima pode ser convertido em uma função segmentada padrão, ou seja, o subdomínio é definido por x. A subfunção é uma fórmula para y e x. Este artigo não se expandirá.

5. epílogo

A Curve V1 foi lançada no final de 2019. Na época, seu principal objetivo era oferecer um suporte melhor para pares de negociação de stablecoins e preencher lacunas nesse mercado. Talvez seja isso que tenha determinado o modo de pensar de Michael. O foco está em uma estrutura simétrica nos pontos de preço 1:1, e a liquidez é relativamente concentrada em torno do ponto de preço 1:1. Quando Michael deduziu a fórmula de mistura cruzando x+y = d e xy = (D/2) ², me parece que o trabalho mais central e mais pioneiro foi concluído, porque essa fórmula de mistura já satisfaz as características simétricas e de agrupamento descritas acima. Transformar ainda mais a fórmula de mistura em uma fórmula que suporte a liquidez em toda a faixa de preços, para Michael, provavelmente é apenas um subcálculo menor e a conclusão do trabalho.

Uni V3 foi lançado mais tarde e um white paper foi lançado em março de 2021. A equipe da Uni viu o Curve V1 funcionar tempo suficiente. Um grupo de pessoas extremamente inteligentes, a maneira de revidar naturalmente exige uma atualização. A equipe da Uni quebrou diretamente uma premissa importante. Os LPs não são mais ‘grandes refeições em potes’ e não podem mais seguir uniformemente uma fórmula fixa única para cada pool fornecer liquidez.

Com base em Uni V1/V2 xy=k, o Uni V3 constrói uma fórmula básica (ou seja, a fórmula de tradução descrita acima) que fornece liquidez apenas dentro de uma faixa de preço específica. O Uni V3 queria quebrar a premissa da “grande refeição do pote” do LP, então deu aos LPs a liberdade de decidir em que faixa de preço (ou várias faixas) fornecer liquidez. Cada LP individual toma decisões livremente e, quando somado em cada nível do pool, também forma uma fórmula (função segmentada). No entanto, a forma desta fórmula muda dinamicamente e definitivamente não é um padrão de forma fixa como os AMM anteriores (alguns AMMs podem ajustar a forma através da governança, como o Curve V1 para ajustar o parâmetro A).

Este design não só resolveu o problema da baixa eficiência de capital da Uni V2 no cenário de pares de negociação de stablecoins (contra-ataque Curve V1), mas também introduziu uma competição mais completa em todos os cenários de pares de negociação, melhorando o nível geral de eficiência financeira do mercado.

Depois de analisar as diferenças no histórico e no ponto de partida fundamental, vamos dar uma olhada na semelhança entre a fórmula de mistura Curve V1 e a fórmula de tradução Uni V3, que parecia ser nada mais do que uma simples coincidência matemática que vale a pena mencionar.

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