人々はパワー・ロウの誤った解釈をしています。彼らはパワー・ロウの周りにバンドを考えています。これらは比較的大きなものであり、過去に示したように、ビットコインがほとんどの時間を費やす場所に焦点を当てるとそうではないことがわかります。

しかし、実際にはバンドの概念は、真のビットコインの挙動を理解する上で重要ではありません。本当の意味を理解するには、正規化リターンや日次傾斜の言語を使う必要があります。

1. 根本的な問題：生のリターンは誤解を招く

ビットコインの生の日次リターンや生の価格変動を見ると、すぐに二つの問題に直面します。

非定常性
2011年の5％の動きは、経済的意味、流動性、システム規模の点で2024年の5％の動きと比較できません。
ボラティリティは「減衰」しているように見えますが、この減衰は成長と絡み合っています。

スケール依存性
システムが成長するにつれて絶対価格変動が爆発的に増加します。
パーセンテージリターンでさえ、システムの自然な時間スケールが変化している事実を隠しています。

要するに：生のリターンは成長とノイズを混合しており、ビットコインを安定したシステムとして研究することを不可能にしています。

2. パワー・ロウを自然な正規化として

パワー・ロウは時間と成長の自然な正規化を提供します。

価格が次のように従う場合：

P(t) = C · t^α

このとき、期待される日次成長率(ローカルの傾斜（対数空間での）)は：

d log P / d log t = α

これは非常に重要です：

期待される成長は、カレンダー時間ではなくシステムの年齢に依存します。
システムが成熟するにつれて成長は予測可能な速度で遅くなります。

この期待値に対してリターンを正規化することで、次の二つを分離します。

決定論的なスケーリング信号 (パワー・ロウ)

確率的な変動 (市場の挙動)

これは、膨張するシステムを研究する物理学者が行うこととまったく同じです。

3. 正規化された日次傾斜 (重要な洞察)

正規化された日次傾斜(または有効指数)を定義します。

n(t) = log(P)t+1( / P(t) / log()t+1) / t(

この量は深い問いに答えます。

「ビットコインはその年齢に対してどれだけ速く成長しているのか？」

そして、驚くべきことに次のことが起こります。

n(t)の平均は時間とともに安定します。

平均は約αの一定値に収束します。

成長が適切に正規化されると、短期的な混乱は消えます。

この安定性は、生のリターンでは明らかではなく、パワー・ロウの正規化後にのみ現れます。

4. 平均の安定性＝スケーリング法則の存在

複雑系において、安定した正規化された平均は次のことを意味します。

システムは自己一貫した成長レジームを見つけた。

フィードバックメカニズムが偏差を調整している。

成長法則は偶然ではない。

これが、パワー・ロウが「ただのフィット」ではない理由です。

安定した正規化傾斜は、基礎となるメカニズムの証拠であり、曲線フィッティングではありません。

ビットコインは約16年間にわたり、この安定性を示してきました。これには、

バブルとクラッシュ

規制の衝撃

取引所の失敗

機関投資家の参入

が含まれます。

これだけで、成熟したスケール不変システムのクラスに位置付けられます。

5. 偏差は構造化されており、ランダムではない

正規化されると、n)t(の偏差は次のようになります。

δn)t( = n)t( − α

もはや恣意的ではありません。

経験的に：

それらは明確に定義された分布に従います。

その分布は時間依存ですが構造化されています。

尾部は重く、複雑適応系と一致します。

分散はゆっくり進化し、爆発的には変化しません。

これは意味します。

ビットコインのボラティリティはノイズではありません。

成長と同じスケーリング法則によって制約されています。

物理学的に言えば、ビットコインは安定したアトラクターの周りで揺らぐシステムのように振る舞います。

6. なぜこれがパワー・ロウを予測的にするのか )正しい意味で(

パワー・ロウは短期的な価格予測ツールではありません。

その力は他にあります：

期待される成長の範囲を予測します。

偏差が妥当か非妥当かを定義します。

将来の軌跡について確率的な判断を可能にします。

ボラティリティが解釈可能になる基準を提供します。

これと同じ理由で、スケーリング法則は次の分野で使われます。

乱流

人口増加

都市経済

ネットワークの進化

正確な結果を予測するためではなく、現実を制約するために。

7. なぜこの枠組みが従来のモデルより優れているのか

従来の金融モデルは次の仮定をします。

定常性

固定された時間スケール

ガウスノイズ

ビットコインはこれらすべてに違反します。

パワー・ロウの枠組みは：

非定常性を受け入れる

時間を動的に正規化する

ボラティリティがスケールに対して縮小する理由を説明する

これが、指数モデルが失敗し、パワー・ロウが生き残る理由です。

8. 結論

パワー・ロウモデルが強力な理由は：

成長を正しく正規化する

安定した平均成長指数を明らかにする

混乱を構造化された変動に変える

ビットコインが自己調整型のスケーリングシステムであることを示す

「リターン」をノイズから物理学的なものに変換する

つまり、一言で言えば：

パワー・ロウは、ビットコインをその自然な座標系に置くことで機能し、その中で信号は単純で安定し意味のあるものになるのです。